已知双曲线E：的左右焦点分别为， .点为的中点，O为坐标原点，A，B为双曲线E的左右顶点，P为E上异于A，B的任一点，且满足：直线PA与直线PB的斜率之积为.

1. (2023高三上·南京期末) 已知双曲线E： $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，O为坐标原点，A，B为双曲线E的左右顶点，P为E上异于A，B的任一点，且满足：直线PA与直线PB的斜率之积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线E的方程；
3. （2）过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线l交双曲线E于M，N两点，直线MD，ND分别交双曲线E于P，Q两点，设直线PQ的斜率为k₂ ，问是否存在实数 $\text{[math]}$ 使得： $\text{[math]}$ ？若存在求出 $\text{[math]}$ 值；若不存在，说明理由.

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1. (2023高三上·南京期末) 已知双曲线E：的左右焦点分别为 ， .点为的中点，O为坐标原点，A，B为双曲线E的左右顶点，P为E上异于A，B的任一点，且满足：直线PA与直线PB的斜率之积为.