如图所示的矩形中，分别为线段上的动点.

1. (2023高一下·南京期中) 如图所示的矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ 上的动点.
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为靠近 $\text{[math]}$ 的三等分点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）若 $\text{[math]}$ 是边长为1的正三角形.
  （i）令 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
  （ii）求矩形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.