如图1，在矩形中，（其中），点P是边上一动点（点P不与A重合），点E是边的中点，连接，将矩形沿直线进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接并延长，交边于点F（点F不与C重合），过点F作的平分线，交矩形的边于点G．

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1. (2023·武侯模拟) 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ），点P是 $\text{[math]}$ 边上一动点（点P不与A重合），点E是 $\text{[math]}$ 边的中点，连接 $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 边于点F（点F不与C重合），过点F作 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ ，交矩形 $\text{[math]}$ 的边于点G．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值．

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