苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图1，探究所提供的正方形的边长都为2．

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1. (2023八下·泗阳期中) 苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图1，探究所提供的正方形 $\text{[math]}$ 的边长都为2．
1. （1）【探究】
  如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，如果点E、F分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，垂足为M，那么 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相等吗？证明你的结论．
3. （2）【应用】
  如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，动点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，将正方形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点B对应的点M始终落在边 $\text{[math]}$ 上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点P，设 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长（用含t的式子表示）．
5. （3）【拓展】
  如图4，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 的中点，F、G分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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江苏省宿迁市泗阳县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题