综合与实践问题情境在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．

1. (2023·太原模拟) 综合与实践
问题情境

在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，并展开铺平．
1. （1）实践操作
  在图中，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
3. （2）猜想证明
  在（1）所作的图形中连接 $\text{[math]}$ ，猜想并证明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系；
5. （3）问题解决
  已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 所在直线折叠矩形 $\text{[math]}$ 纸片，折痕交矩形纸片的边于点 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．