如图1，等边三角形纸片中，，点D在边上（不与点B、C重合），，点E在边上，将沿折叠得到（其中点是点C的对应点）．

1. (2023·衡水模拟) 如图1，等边三角形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在边 $\text{[math]}$ 上（不与点B、C重合）， $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ （其中点 $\text{[math]}$ 是点C的对应点）．
1. （1）当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时，依题意补全图2，并指出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系；
3. （2）如图3，当点 $\text{[math]}$ 落到 $\text{[math]}$ 的平分线上时，判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由；
5. （3）当点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离最小时，求 $\text{[math]}$ 的长；
7. （4）当A， $\text{[math]}$ ， D三点共线时，直接写出 $\text{[math]}$ 的余弦值．