在矩形中，点P是矩形边上一点，连接，将分别沿翻折，得到，当三点共线时，则称P为边上的“优叠点”（如图1）．

1. (2023·惠山模拟) 在矩形 $\text{[math]}$ 中，点P是矩形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 分别沿 $\text{[math]}$ 翻折，得到 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 三点共线时，则称P为 $\text{[math]}$ 边上的“优叠点”（如图1）．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，则此时 $\text{[math]}$ 的长度为；
3. （2）如图2，若将矩形 $\text{[math]}$ 置于平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ，点A在原点，B ， D分别在x轴与y轴上，点E和点F分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 边上的动点，运动过程中始终保持 $\text{[math]}$ ．当点P是 $\text{[math]}$ 边上唯一的“优叠点”时，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．