如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．

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1. (2023八下·黄州期末) 如图1，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，将线段 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，此时点 $\text{[math]}$ 恰好落在直线 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴正方向平移得 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 平移的距离及点 $\text{[math]}$ 的坐标；
5. （3）在（2）的条件下，若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，是否存在以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的 $\text{[math]}$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

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湖北省黄冈市黄州区2022-2023学年八年级下册数学期末试卷