已知抛物线（a为常数，）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．

1. (2023八下·长沙期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ （a为常数， $\text{[math]}$ ）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．
1. （1）求a的值．
3. （2）若点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 都是这个抛物线上的点，且有 $\text{[math]}$ ，求t的取值范围．
5. （3）设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D ，过点A作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点B ，过点D作 $\text{[math]}$ 轴，垂足于点C ，试问四边形 $\text{[math]}$ 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．

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1. (2023八下·长沙期末) 已知抛物线（a为常数，）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．