【情境建模】苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形即如图

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1. (2023八下·淮安期末)
1. （1）【情境建模】苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．
  小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形．即如图1，已知，点D在 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．请你帮助小明完成证明；
3. （2）【理解内化】
  请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：
  ①如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是角平分线，过点B作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 、AC于点E、F ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；
  ②如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长．
5. （3）【拓展应用】
  如图4， $\text{[math]}$ 是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，该绿化带中修建了健身步道 $\text{[math]}$ ，其中入口M、N分别在 $\text{[math]}$ 上，步道 $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．现要用围挡完全封闭 $\text{[math]}$ 区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少m？（步道宽度和接头忽略不计）

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江苏省淮安市2022-2023学年八年级下册数学期末试卷