1. (2023高三上·顺义月考)  对于同一个物理问题，常常可以从宏观和微观两个不同角度进行研究。

1. （1） 如图所示，正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为 ， 单位体积内粒子数量为恒量，为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略，其速率均为 ， 且与器壁各面碰撞的机会均等，与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变，利用所学力学知识。

   ①求一个粒子与器壁碰撞一次受到的冲量大小；

   ②根据动量定理导出容器壁单位面积所受粒子压力与、和的关系（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）；

3. （2） “温度是分子平均动能的标志”可以表示为（为物理常量）。查阅资料还可得到下信息：

   第一，理想气体的模型为气体分子可视为质点，分子间除了相互碰撞外，分子间无相互作用力；

   第二，一定质量的理想气体，其压强与热力学温度的关系式为 ， 式中为单位体积内气体的分子数，为常数；

   请根据上述信息并结合第（1）问的信息完成证明： ， 并求出的表达式。