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1.
(2023高一下·北京期末)
我国航天技术水平在世界处于领先地位,对于人造卫星的发射,有人提出了利用“地球隧道”发射人造卫星的构想:沿地球的一条弦挖一通道,在通道的两个出口处分别将等质量的待发射卫星部件同时释放,部件将在通道中间位置“碰撞组装”成卫星并静止下来;另在通道的出口处由静止释放一个大质量物体,大质量物体会在通道与待发射的卫星碰撞,只要物体质量相比卫星质量足够大,卫星获得足够速度就会从对向通道口射出。以下计算中,已知地球的质量为 , 地球半径为 , 引力常量为 , 可忽略通道的内径大小和地球自转影响。
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(1)
如图甲所示,将一个质量为
的质点置于质量分布均匀的球形天体内,质点离球心
的距离为
。已知天体内部半径在
之间的“球壳”部分
如甲示阴影部分
对质点的万有引力为零,求质点所受万有引力的大小
。
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(2)
如图乙所示,设想在地球上距地心
处沿弦长方向挖了一条光滑通道
, 一个质量为
。的质点在离通道中心
的距离为
处,求质点所受万有引力沿弦
方向的分力
;将该质点从
点静止释放,求质点到达通道中心
处时的速度大小
。
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(3)
如图丙所示,如果质量为
的待发射卫星已静止在通道中心
处,由
处静止释放另一质量为
的物体,物体到达
处与卫星发生弹性正碰,设
远大于
, 计算时可取
。卫星从图丙示通道右侧
处飞出,为使飞出速度达到地球第一宇宙速度,
应为多大?
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