如图1，抛物线交x轴于A ，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．

1. (2023·海南) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于A ， $\text{[math]}$ 两点，交y轴于点 $\text{[math]}$ ．点P是抛物线上一动点．
1. （1）求该抛物线的函数表达式；
3. （2）当点P的坐标为 $\text{[math]}$ 时，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；
5. （3）当动点P在直线 $\text{[math]}$ 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q ，使得以B ， C ， P ， Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
7. （4）如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线 $\text{[math]}$ 轴，交x轴于点H ，当点P在第二象限时，作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 交于点G和点I ，求证：点D是线段 $\text{[math]}$ 的中点．