已知：如图，在中，边，，，于点，点在线段上运动，在的左侧作，使，，连结．

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1. (2023·二道模拟) 已知：如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中，边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，在 $\text{[math]}$ 的左侧作 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．
1. （1）问题发现：在点 $\text{[math]}$ 运动的过程中 $\text{[math]}$ 始终与 $\text{[math]}$ 相似，请写出完整的证明过程．
3. （2）问题延伸：
  $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，直到 $\text{[math]}$ 的周长最小时点 $\text{[math]}$ 停止运动，直接写出在上述运动过程中点 $\text{[math]}$ 运动的路径长．

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