如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象经过点点是抛物线上一点不与点重合，其横坐标为以为对角线作矩形，垂直于轴．

1. (2023·大安模拟) 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，其横坐标为 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为对角线作矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴．
1. （1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
3. （2）当矩形 $\text{[math]}$ 内部的图象从左到右逐渐上升时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
5. （3）当矩形 $\text{[math]}$ 内部的图象 $\text{[math]}$ 包括边界 $\text{[math]}$ 的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
7. （4）设点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，当该抛物线上有四个点到直线 $\text{[math]}$ 的距离是到直线 $\text{[math]}$ 距离的 $\text{[math]}$ 倍时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．