甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中红球个数为．

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1. (2023高三上·浙江月考) 甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复 $\text{[math]}$ 次这样的操作，记甲口袋中红球个数为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
3. （2）求 $\text{[math]}$ 的概率分布列并求出 $\text{[math]}$ ；
5. （3）证明： $\text{[math]}$ ．

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