如图，在直角梯形中，，，，，， P、Q同时从A、C出发，点P以的速度沿运动，点Q从C开始沿边以的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）.

1. (2023九上·吉州月考) 如图，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P、Q同时从A、C出发，点P以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 运动，点Q从C开始沿 $\text{[math]}$ 边以 $\text{[math]}$ 的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）.
1. （1） t为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；
3. （2） t为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是等腰梯形；
5. （3）是否存在某一时刻t ，使线段 $\text{[math]}$ 恰好把梯形 $\text{[math]}$ 的周长和面积同时平分?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由.

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