某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为、，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为，如图所示，M、N为C的两个端点，测得点M到、

1. (2023高三上·浦东月考) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为 $\text{[math]}$ ，如图所示，M、N为C的两个端点，测得点M到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的距离分别为5千米和40千米，点N到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的距离分别为20千米和2.5千米，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所在的直线分别为x、y轴，建立平面直角坐标系 $\text{[math]}$ ，假设曲线C符合函数 $\text{[math]}$ （其中a、b为常数）模型.
1. （1）求a、b的值；
3. （2）设公路 $\text{[math]}$ 与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
  ①请写出公路 $\text{[math]}$ 长度的函数解析式 $\text{[math]}$ ，并写出其定义域；
  ②当t为何值时，公路 $\text{[math]}$ 的长度最短?求出最短长度.

微信扫码预览、分享更方便