已知．

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1. (2023高三上·嘉定月考) 已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值；
3. （2）请严格证明曲线 $\text{[math]}$ 有唯一交点；
5. （3）对于常数 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 和曲线 $\text{[math]}$ 共有三个不同交点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 成等比数列．

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