已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.

1. (2024高三上·衡阳模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，虚轴长为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的左焦点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的左支于A、B两点.
1. （1）求双曲线C的方程；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，试问：是否存在直线 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为直径的圆上？请说明理由.

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1. (2024高三上·衡阳模拟) 已知双曲线的左、右焦点为、 ， 虚轴长为 ， 离心率为 ， 过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.