①美国克莱因的《古今数学思想》一书的正确书名，事实上应该是《西方古今数学思想》。在全书中，只有介绍印度和阿拉伯数学的第9章才涉及非希腊传统的东方数学。尽管如此，在该章之首作者却提出了这样的看法：“在数学史上，希腊人的后继者是印度人，虽然印度的数学只是在受到希腊数学成就的影响后才颇为可观。”
②只要对中国的传统数学略有所知，即知此语之谬。作为一名中国的数学工作者，首先应对自己的数学历史有深刻的认识。为此，必须首先对成书于公元1世纪左右的《九章算术》与成书于公元3世纪的《刘徽注》有确切的了解。
③数学系统的每一步完善都是数学进展的重要标志。无理数的发现，曾在西方引起了数学危机。但是负数概念与完整的实数系统在西方很晚才得到确认。克菜因在《古今数学思想》中曾经说过：“负数虽然通过阿拉伯人的著作传到欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数。”“数学史上最使人惊奇的事实之一，是欧洲实数系的逻辑基础竟迟至19世纪后叶才建立起来。在那以前，即使正负有理数与无理数的最简单性质也没有成逻辑地建立，连这些数的定义也还没有。”
④然而在我国，至迟在《九章算术》中，就已记载着有理数与正负数的各种运算规则。不仅如此，对于古代希腊认为迷惑不可理解的开根不尽之数（无理数），在《九章算术》与《刘徽注》中直截了当地“以面命之”，给出了独立成数的定义与某些运算法则。事实上，通过这种不尽小数的引入，以及开方与圆周率的极限计算，《九章算术》与《刘徽注》实际上已完成了整个实数系统。
⑤数学研究现实世界中的数量关系与空间形成。在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离并肩地发展着的。但在以欧几里得为代表的希腊传统里，几何学则独立于数量关系而以单纯研究空间形式的格局发展着。
⑥希腊传统的这种排斥数量关系于几何之外的研究方式可能给数学包括几何带来了严重后果。在欧洲长时期黑暗的中世纪（公元5世纪到15世纪）中，数学的发展陷于停顿，几何也是如此。笔者怀疑公元前3世纪欧几里得那种单纯依靠艰涩而迁曲之形式进行的推理方式，正是造成这种停顿的重要原因之一。不论笔者的怀疑有多少真实性，一个无可否认的事实是：中世纪时的阿拉伯世界——无疑是由于东方的影响——已经充分掌握了当时数量关系方面的许多知识与方法，当然可能还有不少自己的创造。通过回教、蒙古与土耳其的西侵以及“十字军”的东征，这种知识与方法传入了欧洲，前面所说负数的传入正是其中之一。这种传入无疑促成了中世纪以后欧洲以数量关系为主而与欧几里得传统大相径庭的种种发明创造。
⑦与以欧几里得为代表的希腊传统相异，我国的传统数学在研究空间形式时着重于可以通过数量来表达那种属性，几何问题往往归结为代数问题来处理解决。面积、体积与圆周率的计算导致无理数概念的引入，相当于“卡瓦列利原理”的“刘祖原理”的发现以及极限方法的创立。把几何问题化为代数问题的做法，则导致方程、天元等概念的引入，多项式运算与消元方法的建立以及各种方程的系统解法；并使几何代数化有途可循，有法可依。17世纪笛卡尔解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。
⑧笔者曾在多种场合，指出我国的传统数学有它自己的体系与形式，有着它自身的发展途径与独到的思想体系。我国的古代数学基本上是从生产实践中提炼出数学问题，经过分析综合，形成概念与方法，并上升到一般性原理，进一步应用于多种多样的不同问题，由于形形色色的问题往往归结为方程求解，因而方程求解就成为中国传统数学自《九章算术》以来发展中的一条主线。我国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中建立了以机械化为其特色的算法体系，而《九章算术》与《刘徽注》是这一机械化体系的代表作。这与以欧几里得《几何原本》为代表作的西方数学之以定理求证为中心的公理化体系可谓东西辉映。在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流，深刻影响了数学的历史进程。
⑨研究《九章算术》与《刘徽注》，不仅对于数学的历史，即使对于数学的现状，也可提高认识。
⑩肇始于我国的这种数学机械化体系，在经过明代以来几百年的相对消沉后，由于计算机的出现，已越来越为数学家所认识与重视。《九章算术》与《刘徽注》所贯穿的机械化思想，对数学的现状正在发挥它日益显著的影响。它在进入21世纪后在数学中的地位，也几乎可以预卜。
⑪总之，要预见数学的将来，就不能不研究《九章算术》与《刘徽注》所蕴含的深邃思想在数学发展过程中的历史功绩，也不能不正视正在崭露头角的这种思想对数学现状的影响。
（摘编自吴文俊《关于研究数学在中国的历史与现状》)
