如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且为的内心，三点共线，且轴上点满足，则的最小值为；的最小值为.

1. (2024高二上·湖南期末) 如图，椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有公共焦点 $\text{[math]}$ ，椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，双曲线的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为两曲线的一个公共点，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ 三点共线，且 $\text{[math]}$ 轴上点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为； $\text{[math]}$ 的最小值为.