在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.

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1. (2024高二上·湖南期末) 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $\text{[math]}$ 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子 $\text{[math]}$ 分别在正方形对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上移动，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度保持相等，记 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 长的最小值；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 的长最小时，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.

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湖南重点大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题