已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.

1. (2024高三下·贵阳模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，虚轴长为2，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上.
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （2）过原点 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，已知直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的斜率存在，证明：直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积为定值；
5. （3）过点 $\text{[math]}$ 的直线交双曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点分别为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 的中点为定点.