已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（）

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1. (2024高二下·长沙开学考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 右支上的动点，过 $\text{[math]}$ 作两渐近线的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线相切，则下列命题正确的是（）

A . 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 为定值 C . $\text{[math]}$ 的最小值为3 D . 若直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）的斜率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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