【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，，垂足为点C，，点P直线MN上的任意一点．求证：．

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1. (2024八下·高州月考) 【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图， $\text{[math]}$ ，垂足为点C， $\text{[math]}$ ，点P直线MN上的任意一点．
求证： $\text{[math]}$ ．
1. （1）请根据教材内容，结合图①，写出完整的证明过程．
3. （2）【定理应用】如图②，作图①中的 $\text{[math]}$ 的边AP的垂直平分线DE ，交PA ， PC于点D ， E ，连结AE ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长；
5. （3）在（2）的条件下，直接写出EP的长为．

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