龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过个关卡，分别为：，记挑战每一个关卡失败的概率为，其中.游戏规则如下：从第一个关卡开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡

1. (2024高三下·娄底模拟) 龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过 $\text{[math]}$ 个关卡，分别为： $\text{[math]}$ ，记挑战每一个关卡 $\text{[math]}$ 失败的概率为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .游戏规则如下：从第一个关卡 $\text{[math]}$ 开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若 $\text{[math]}$ ，设龙年在闯关结束时进行到了第 $\text{[math]}$ 关， $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ ；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第 $\text{[math]}$ 关的概率总等于闯到第 $\text{[math]}$ 关 $\text{[math]}$ 的概率的一半，则数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

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