已知函数，其中为自然对数的底数.

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1. (2024高三下·娄底模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数.
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
3. （2）证明： $\text{[math]}$ ；
5. （3）设 $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

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湖南省娄底市2024届高三下学期3月高考仿真模拟考试数学试题