如图，的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，、两点的坐标分别为、，抛物线经过点，且顶点在直线上．

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1. (2024·揭东模拟) 如图， $\text{[math]}$ 的两直角边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴的负半轴和 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 点，且顶点在直线 $\text{[math]}$ 上．
1. （1）求抛物线对应的函数关系式；
3. （2）若 $\text{[math]}$ 是由 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴向右平移得到的，当四边形 $\text{[math]}$ 是菱形时，试判断点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 是否在该抛物线上，并说明理由；
5. （3）在 $\text{[math]}$ 的前提下，若 $\text{[math]}$ 点是 $\text{[math]}$ 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式，并求 $\text{[math]}$ 取最大值时，点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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