已知双曲线，上顶点为.直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为.

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1. (2024高三下·宁波模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的两支分别交于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在第一象限），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .设直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角分别为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，
  （i）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
  （ii）求证： $\text{[math]}$ 为定值；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的外接圆半径之比的最大值.

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