综合与实践问题情境：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动．数学实践体验课上，张老师利用几何画板将两个大小不同的正方形进行旋转变换，并提出以下问题：如图①，四边形和四边形均为正方形，且点G在上，

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1. (2024·仁和模拟) 综合与实践
问题情境：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动．数学实践体验课上，张老师利用几何画板将两个大小不同的正方形进行旋转变换，并提出以下问题：如图①，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 均为正方形，且点G在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 怎样的数量关系和位置关系．
1. （1）猜想定论：
  猜想题目中的问题： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是，位置关系是；
3. （2）探索验证：
  如图②，将正方形 $\text{[math]}$ 以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使得 $\text{[math]}$ 过点B（即点B在 $\text{[math]}$ 上），此时（1）中的结论是否成立，请说明理由；
5. （3）拓展深入：
  如图③，在图②的基础上，过点A作 $\text{[math]}$ 于点H ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长度．

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