1. (2024·东莞模拟) 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点，连接AE ．

1. （1） 如图①，过点B作BF⊥AE于点G ， 交直线CD于点F ． 以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰Rt△CFH ， 连接AH ， EH ． 求证：△AEH是等腰直角三角形；
3. （2） 如图②，在（1）的条件下，记AH、EH分别交CD于点P、Q ， 连接PE ．

   ①试探究PE、BE、DP之间的数量关系；

   ②设BE＝m ， △PQE中边PE上的高为h ， 请用含m的代数式表示h ． 并求h的最大值．