如图1，在正方形中，点E在上（不与点B ， C重合），点F在边上，，连接交于点M ．

1. (2024·路桥二模) 如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 上（不与点B ， C重合），点F在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交于点M ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点G ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H ．
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  ②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）如图3，若E是 $\text{[math]}$ 的中点，以点B为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作 $\text{[math]}$ ， P是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．