“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知

1. (2024高二下·邢台期中) “布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过 $\text{[math]}$ 次随机选择后到达2号仓的概率为 $\text{[math]}$ ，已知该粒子的初始位置在2号仓.
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
3. （2）证明数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，并求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
5. （3）粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望.

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