如图1．四边形、都是矩形，点G在上，且，，，小李将矩形绕点C顺时针转，如图2所示：

1. (2024九下·宝安模拟) 如图1．四边形 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是矩形，点G在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，小李将矩形 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针转 $\text{[math]}$ ，如图2所示：
1. （1） ① 他发现 $\text{[math]}$ 的值始终不变，请你帮他计算出 $\text{[math]}$ 的值 $\text{[math]}$ ______．
  ② 在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求出AG的长度是多少?
3. （2）如图3， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， G为 $\text{[math]}$ 的中点，点D为平面内的一个动点．且 $\text{[math]}$ ，将线段BD绕点D逆时针旋转α°，得到 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积的最大值为______．