数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题.如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E ，延长交延长线于点F.请你解决下面各组提出的问题：

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1. (2024·赤峰) 数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题.如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点D作 $\text{[math]}$ 于点E ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点F.
请你解决下面各组提出的问题：
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系；
  某小组探究发现，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
  请你继续探究：
  ①当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值；
  ②当 $\text{[math]}$ 时，猜想 $\text{[math]}$ 的值（用含m ， n的式子表示），并证明；
5. （3）拓展应用：在图1中，过点F作 $\text{[math]}$ ，垂足为点P ，连接 $\text{[math]}$ ，得到图2，当点D运动到使 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值（用含m ， n的式子表示）.

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