1. (2024·长春) 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB＝3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM＝CN ， 试探究线段MN长度的最小值．

【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．

【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P ， 作射线AP ．

在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：

1. （1） 证明：AM＝MP；
3. （2） ∠CAP的大小为 度，线段MN长度的最小值为 ．
5. （3） 【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN ． 钢丝绳MN长度的最小值为米．