科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样．以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象．当前P到O点的距离为，宇

1. (2024·北京) 科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样．以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象．当前P到O点的距离为 $\text{[math]}$ ，宇宙的密度为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求小星体P远离到 $\text{[math]}$ 处时宇宙的密度ρ；
3. （2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面．P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力．已知质量为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 、距离为R的两个质点间的引力势能 $\text{[math]}$ ， G为引力常量．仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动．
  a．求小星体P从 $\text{[math]}$ 处远离到 $\text{[math]}$ 处的过程中动能的变化量 $\text{[math]}$ ；
  b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律 $\text{[math]}$ ，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数．H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小．

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