如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．

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1. (2023八上·阳新期中) 如图1，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）在（1）中，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点，（如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上移动，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上移动时，始终满足 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．

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湖北省黄石市阳新县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题