已知椭圆，左､右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.

1. (2024高三上·广东月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，短轴的其中一个端点为 $\text{[math]}$ ，长轴端点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是面积为 $\text{[math]}$ 的等边三角形.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程及离心率；
3. （2）若双曲线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为焦点，以 $\text{[math]}$ 为顶点，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的一个交点，求 $\text{[math]}$ 的面积；
5. （3）如图，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有唯一的公共点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线分别交 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点.当点 $\text{[math]}$ 运动时，求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程.