在等边中，，垂足为D，点E是线段上一点，连接，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点G．

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1. (2024九上·沙坪坝开学考) 在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，垂足为D，点E是线段 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G．
1. （1）如图1，若 $\text{[math]}$ 的延长线恰好过点B，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度：
3. （2）如图2，在 $\text{[math]}$ 上取一点H，使 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的延长线上取一点K，连接 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）如图3， $\text{[math]}$ ，点M为平面内任意一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线翻折至 $\text{[math]}$ 所在平面内，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点T是线段 $\text{[math]}$ 中点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点T逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，点P为线段 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点Q，当 $\text{[math]}$ 取最大值时，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的面积．

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