在等边中，，垂足为D ，点E是线段AD上一点，连接CE ，将CE绕点C顺时针旋转到CF ，连接EF交AC于点G ．

1. (2024九上·重庆市开学考) 在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，垂足为D ，点E是线段AD上一点，连接CE ，将CE绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ 到CF ，连接EF交AC于点G ．
1. （1）如图1，若FE的延长线恰好过点B ，且 $\text{[math]}$ ，求AB的长度：
3. （2）如图2，在AD上取一点H ，使 $\text{[math]}$ ，在AB的延长线上取一点K ，连接KH ，且满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）如图3， $\text{[math]}$ ，点M为平面内任意一点，连接BM、DM ，将 $\text{[math]}$ 沿BM所在直线翻折至 $\text{[math]}$ 所在平面内，得到 $\text{[math]}$ ，连接CN ，点T是线段CN中点，将线段TC绕点T逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到TS ，点P为线段CD中点，连接SC、SP ，直线SP与直线AB交于点Q ，当SP取最大值时，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的面积．

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1. (2024九上·重庆市开学考) 在等边中， ， 垂足为D ， 点E是线段AD上一点，连接CE ， 将CE绕点C顺时针旋转到CF ， 连接EF交AC于点G ．