如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于一点．

1. (2024九上·长沙开学考) 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 两点，且与直线 $\text{[math]}$ 交于一点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点，探究 $\text{[math]}$ 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
5. （3）若点 $\text{[math]}$ 为抛物线对称轴上一点，点 $\text{[math]}$ 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是以 $\text{[math]}$ 边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．