1. (2024高三下·黄陂模拟) 如图，水平固定不动的绝热气缸内，用不导热的轻质活塞封闭着一定质量的理想气体。活塞横截面积为S，汽缸底部有一电热丝，其阻值为 ， 一轻绳左端连接活塞，另一端跨过定滑轮后与质量为的空小桶相连。开始时小桶静止，外界大气压强为 ， 活塞距离气缸底部的距离为 ， 不计一切摩擦阻力，重力加速度大小为。

（i）若将电热丝通以大小为的恒定电流缓慢加热气体，经时间后，活塞缓慢向右移动的距离为 ， 求该过程气体内能的增量；

（ii）若将小桶内缓慢加入细沙，同时控制电热丝的加热功率，保持气缸内气体温度不变，当加入质量为的细沙时，求该过程活塞向右缓慢移动的距离。