如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段上一动点，过点P作轴于点C，交抛物线于点D．

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1. (2023九上·醴陵期末) 如图，已知直线 $\text{[math]}$ 分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点C，交抛物线于点D．
1. （1）若抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ，设其顶点为M，其对称轴交 $\text{[math]}$ 于点N．
  ①求点M和点N的坐标；
  ②在抛物线的对称轴上找一点Q，使 $\text{[math]}$ 的值最大，请直接写出点Q的坐标；
  ③是否存在点P，使四边形 $\text{[math]}$ 为菱形？并说明理由；
3. （2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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