我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.

1. (2024高三上·顺德月考) 我们知道，函数 $\text{[math]}$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $\text{[math]}$ 为奇函数.已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，并写出函数 $\text{[math]}$ 的对称中心；
3. （2）判断函数 $\text{[math]}$ 的单调性（不用证明），若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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1. (2024高三上·顺德月考) 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.