某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成．在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区，其中、分别在半圆与半圆的圆弧上，且

1. (2024高三上·湖北月考) 某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以 $\text{[math]}$ 为圆心的半圆及直径 $\text{[math]}$ 围成．在此区域内原有一个以 $\text{[math]}$ 为直径、 $\text{[math]}$ 为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在半圆 $\text{[math]}$ 与半圆 $\text{[math]}$ 的圆弧上，且 $\text{[math]}$ 与半圆 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ 长为40米，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．（上述图形均视作在同一平面内）
（1）记四边形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的表达式；
（2）要使改建成的展示区 $\text{[math]}$ 的面积最大，求 $\text{[math]}$ 的值．

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