已知数列，其前项和为，对任意正整数恒成立，且.

1. (2024高三上·保定期中) 已知数列 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，对任意正整数 $\text{[math]}$ 恒成立，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，并求实数 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）当 $\text{[math]}$ 时，设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .集合 $\text{[math]}$ 中元素的个数记为 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.