已知是定义域为的函数，实数，称函数为函数的“-生成函数”，记作.

1. (2024高三上·杨浦模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是定义域为 $\text{[math]}$ 的函数，实数 $\text{[math]}$ ，称函数 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ -生成函数”，记作 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的值域；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
5. （3）若 $\text{[math]}$ 满足：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上存在导函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是严格增函数；③对于任意 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ -生成函数” $\text{[math]}$ 的图像是一段连续曲线，求证：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是严格增函数.