湖北省2018届高三理数4月调研考试试卷

更新时间：2018-10-09 浏览次数：273 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 欧拉公式 $\text{[math]}$ 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，她将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将 $\text{[math]}$ 表示的复数记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 记不等式组 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 4

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4. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 函数 $\text{[math]}$ 的图像大致为（）

A . B . C . D .

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6. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 3 C . 1或9 D . 3或7

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7. 执行如图所示的程序框图，若输出 $\text{[math]}$ 的值为6，且判断框内填入的条件是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 党的十九打报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教.将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业至少安排一名的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边为 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ，给出以下结论：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 有最小值8.
其中正确结论的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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11. 已知正三棱锥 $\text{[math]}$ 的顶点均在球 $\text{[math]}$ 的球面上，过侧棱 $\text{[math]}$ 及球心 $\text{[math]}$ 的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为 $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 设 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项为．（用数字填写答案）

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14. 已知向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为30°， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上恰有三个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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16. 点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的两条切线， $\text{[math]}$ 是切点，则三角形 $\text{[math]}$ 面积的最小值为．

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三、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ °，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：

支付宝用户
非支付宝用户
合计
中老年

90

青年
120

合计

300
附：
$\text{[math]}$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
$\text{[math]}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）完成列联表，并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?
2. （2）把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用 $\text{[math]}$ 表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望.
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ 分别为椭圆的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 在椭圆上，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 内切圆的半径为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相较于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 的斜率之和为2时，问：点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 的极值.
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 为参数)，以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点，以 $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）已知射线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ （异于原点 $\text{[math]}$ ），当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ 的最小值为3.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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